Разложение по поддаипазонам


 
характеризует распределение “энергии” сигнала по частотам . Иногда бывает полезно разложить сигнал на компоненты, энергия которых сосредоточена в различных частотных поддиапазонах (т.е. существенно отлична от нуля на различных подотрезках отрезка ), и кодировать их с разной степенью детальности (например, в зависимости от чувствительности человеческого уха к звукам различной частоты). Задолго до создания вейвлет-анализа для этого использовалась схема, которую мы сейчас опишем.

Мы хотим найти два фильтра, h (подавляющий высокие частоты) и g (подавляющий низкие частоты), которые позволяли бы разложить сигнал на две компоненты,  и , вдвое их проредить (половина значений становится лишней – ведь частотный диапазон сократился вдвое!), а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал (эту операцию можно применять рекурсивно). Условия на искомые фильтры удобно записать в терминах z-преобразования.

Пусть  – z-преобразование одной из компонент. Перед кодированием она прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями. При этом z-преобразование из  превращается в . Подставим сюда (1.1’) для каждого из фильтров, и получим z-преобразования компонент перед восстановлением

z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид  и . Сигнал восстановится с их помощью точно, если:

.

Получаем условия точного восстановления (perfect reconstruction, PR):

В матричной форме они записываются так: 

,

где

Подставив , получим условия на ДПФ искомых фильтров:
 

  • (1.2)

Допустим, что мы нашли h такой, что

(1.2’)

Тогда, положив

(1.3)

,

мы видим, что (1.2) выполняется. Задача свелась к нахождению тригонометрического многочлена , удовлетворяющего (1.2’). На методах построения таких многочленов мы остановимся в следующей лекции. Фильтры h и g, удовлетворяющие (1.2), называются квадратурными зеркальными фильтрами (quadrature mirror filters, QMF).

На рис.1, (a) и (b), показаны ДПФ такой пары фильтров h и g, а также исходный сигнал до и после фильтрации (без прореживания).

Рисунок 1a.
 
Рисунок 1b.

Точно такую же операцию можно применить к одной или обеим из полученных компонент, и т.д., добиваясь нужной локализации по частоте. Это позволяет адаптироваться к особенностям сигнала за счет выбора подходящего “дерева разложения”. Оно может выглядеть, например, так: