Вейвлет-анализ и его приложения


 

  Лекция 1
Вейвлет-анализ в компьютерной графике


 

  Введение


 
Мы расскажем о некоторых приложениях вейвлет-анализа в компьютерной графике. В наши цели не входило подробное рассмотрение технологий и алгоритмов — мы стремились лишь познакомить слушателей (читателей) с возможно более широким спектром приложений и привести ссылки на работы, в которых рассматриваемые вопросы обсуждаются подробно. (Списки соответствующей литературы приводятся в конце каждого раздела, нумерация ссылок в каждом разделе своя).

Рассматривается применение вейвлетов для решения четырех видов задач: обработка растровых изображений, работа с кривыми, работа с поверхностями, решение задачи глобальной освещенности методом излучательности.

Матричная запись

Для описания дискретных вейвлет-преобразований наравне с записью в терминах фильтров используется запись в терминах операторов и матриц. Установить связь между этими записями не составляет труда, что и было сделано в лекциях вводного курса. Паре фильтров анализа g и h соответствовали матрицы G и H, строки которых содержали коэффициенты соответствующих фильтров, сдвинутые друг отностиельно друга. Применение фильтров к сигналу было, таким образом, эквивалентно умножению вектора-сигнала на соответствующую матрицу. Именно матричная запись будет использоваться в данной лекции, со следующими замечаниями: для матриц анализа будут использоваться обозначения A и B, для матриц синтеза -- P и Q, причем коэффициенты фильтров будут располагаться не по строкам, а по столбцам матриц.
Матричная запись бывает в ряде случаев более наглядна, особенно если для разных участков сигнала используются различные фильтры (фильтры могут меняться, например, на границах сигнала). В этом случае не все столбцы матриц будут сдвинутыми копиями друг друга. Однако реализация "в лоб" матричной записи не всегда оказывается эффективной, так как требует предварительной генерации самих матриц, что часто оказывается весма трудоемким. Более эффективной оказывается реализация фильтров и сверток.
 

Используемые обозначения

В данной лекции мы будем использовать обозначения, принятые в книге Eric J. Stollnitz, Tony DeRose, David H. Salesin. Wavelets for Computer Graphics. Theory and Applications. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., San Francisco, California, 1996 — основном источнике, который использовался для подготовки данного материала.
 
  • — единичная матрица.
  • — нулевая матрица.
  • или  — вектор базисных функций  (скейлинг-функций) пространства .
  • или  — вектор базисных функций  (вейвлетов) пространства .
  • ,  — операторы декомпозиции, выделяют соответственно низко- и высокочастотные составляющие исходного сигнала. , .
  • ,  — операторы синтеза. , .
  • , , ,  — матрицы операторов (, , ,  соответственно) в некоторых базисах.
  • — матрица скалярных произведений двух систем функций. Если  и , то матрица имеет размер  и элемент с номером  содержит значение .
В данных обозначениях, например, условие ортогональности вейвлетов записывается так: