Введение в Вейвлет-Анализ


 

 



 

  Лекция 2
Биортогональные вейвлеты, вейвлет-пакеты, сжатие изображений


 

  Конструкция ортогональных вейвлетов


 
В лекции 1 было введено понятие ортогонального многомасштабного анализа (ОМА) в пространстве . Резюмируем его основные свойства.

ОМА – это система подпространств , удовлетворяющая следующим условиям.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. существует такая, что функции  образуют ортонормированный базис пространства .
Скейлинг-функция  удовлетворяет уравнению:

(2.1)

Для любого  имеет место ортогональное разложение , пространство  порождено ортобазисом , пространство  порождено ортобазисом , где ортогональный вейвлет  определяется формулой:
(2.2)
. Проекции сигнала из  на и  выполняется путем свертки с фильтрами  и , которые образуют пару квадратурных зеркальных фильтров. Выполнено условие . Матрицы  и  ортогональных проекций  на и  удовлетворяют условию точного восстановления
.

В качестве примера был приведен ОМА, порожденный функциями Хаара. Однако он имеет существенные недостатки. Дело в том, что, хотя скейлинг-функции и вейвлеты в явном виде не участвуют в алгоритмах разложения и восстановления, способность фильтров использовать имеющуюся в сигнале избыточность связана именно со свойствами этих функций – напомним, что они являются пределами при “бесконечной итерации” фильтров. Если сдвиги скейлинг-функции аппроксимируют гладкие функции лучше, чем негладкие, то гладкий сигнал будет лучше сжиматься – в векторе деталей будет много малых элементов. В изображениях, например, часто встречаются участки плавно меняющейся яркости. Функции Хаара не способны уловить такого рода избыточность.

Построение ОМА с гладкими базисными функциями сводится к построению тригонометрических многочленов, удовлетворяющих (1.2’) и ряду дополнительных ограничений (не любая пара QMF порождает ОМА). Найдя такой многочлен (т.е. набор коэффициентов ), можно вычислить скейлинг-функцию и вейвлет с любой точностью из (2.1) и (2.2). Однако, как выяснилось, класс таких многочленов довольно узок, что накладывает на свойства фильтров неудобные ограничения. В частности, они не могут быть симметричными. Сейчас мы очень коротко наметим классический метод построения таких фильтров, принадлежащий Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies).

Обозначим . Должно выполняться условие:

(2.3)

.
Ищем решение в виде: ,  – многочлен. Тогда . Положим , тогда

(2.4)

,
и (2.3) превращается в

(2.5)

Требуется: а) найти многочлен , удовлетворяющий (2.5) и такой, что  при , и б) извлечь из него квадратный корень в смысле (2.4). Ответ на а) предъявляется:

(2.6)

.
(это фактически единственное решение). Ответ на б) также дается явным выражением, которое мы из-за громоздкости не приводим. В него входят комплексные корни многочлена от , который получается из (2.6) при выражении  через . При выборе различных подмножеств множества корней получаются фильтры с различными свойствами.

Показатель  в (2.5) определяет степени полиномов, которые “убиваются” разложением по построенному таким образом вейвлет-базису:

.

Эта величина называется количеством нулевых моментов (number of vanishing moments). В классической конструкции Добеши длина фильтров , а количество нулевых моментов . На практике это означает, что фильтр  подавляет полиномиальную составляющую сигнала вида , которая остается только в крупномасштабной версии. Например, для вейвлетов Хаара , и применение фильтра  убивает постоянную составляющую сигнала.