Биортогональный многомасштабный анализ


 
Существует более гибкая конструкция МА, где класс допустимых фильтров шире, их коэффициенты проще вычислить, они могут быть симметричными и обладать другими полезными свойствами. Это – биортогональный МА, БМА. Быстрый алгоритм Малла сохраняется, но при разложении и восстановлении используются разные пары фильтров. Каждой паре соответствует МА со своими скейлинг-функцией и вейвлетом. Но эти МА не ортогональны – сдвиги скейлинг-функций и вейвлетов не ортогональны друг другу. Поэтому преобразования (1.8) – (1.9) не ортогональны. (Это означает, между прочим, что погрешность, внесенная при сжатии, может увеличиваться при восстановлении).

Рассмотрим две пары фильтров:  и . Мы хотим проводить разложение при помощи свертки с , а восстановление – при помощи  (в ортогональном случае ). Запишем условия точного восстановления (см. начало лекции 1). В терминах -преобразования разложение на высокие и низкие частоты с прореживанием вдвое имеет вид:

Записав в аналогичном виде процесс восстановления с помощью пары , приравняв результат к , и подставив , получим условия на ДПФ искомых фильтров (аналог (1.2)) :

(2.7)

Вводя матрицы

, ,

запишем эти условия в виде:

(2.7’)

Посмотрим на скейлинг-функции, получаемые из этих фильтров. Напишем уравнения вида (2.1):
(2.8)

Их решения ищутся при помощи такого итерационного процесса (см. рис. 3 из лекции 1): сначала в правую часть подставляется единичная ступенька (скейлинг-функция Хаара), затем – результат этой подстановки, сжатый вдвое по , и т.д. Мы видели, что предельная функция определяет ОМА только если  имеет очень специальный вид (см. 2.3 – 2.6). Для БМА выбор возможных фильтров шире, но тоже требуются дополнительные условия, при которых имеет место сходимость итераций, а предельные функции образуют базис. Предположим, что все эти условия выполнены, и определим биортогональные вейвлеты формулами:

(2.9)

Функции ,  называют основными (primary), функции ,  – дуальными (dual). Взаимосвязь основных и дуальных функций, вытекающая из (2.7), такова: при всех целых 

(2.10)

Грубо говоря, сдвиги основных функций ортогональны сдвигам дуальных функций, но не ортогональны между собой. Пространства  и , порожденные базисами  и , удовлетворяют всем условиям ОМА, кроме последнего. Пространства  и , порожденные  и , дают разложения  и  сигналов в сумму сглаженных версий и деталей. Из (2.8) и (2.9) следует, что скейлинг-базисы  и  пространств  и , а также вейвлет-базисы  и  всего пространства являются дуальными друг к другу в смысле линейной алгебры (скейлинг-базисы – на одном и том же масштабе, вейвлет-базисы – на всех масштабах):
,
.

() не обязаны быть ортогональными к  (). Однако возможен такой случай, когда базисы из сдвигов скейлинг-функций и вейвлетов в каждом из этих подпространств не ортогональны, а сами подпространства ортогональны; такой МА называется полуортогональным (semiorthogonal).

В случае ОМА для сигналов вида  коэффициенты их проекций на  и  давались формулами (1.6) и (1.6’) так как базисы сдвигов скейлинг-функций и вейвлетов были ортогональны. В случае БМА коэффициенты разложения сигнала по основным функциям – это скалярные произведения сигнала с дуальными функциями:

.

Поэтому, чтобы спроектировать сигнал на , надо вычислить его скалярные произведения с базисными функциями , а на  – с базисными функциями . Коэффициенты соответствующих разложений имеют вид:

(2.11)

, 
Рисунок 1. Биортогональный многомасштабный анализ в .

В лекции 1 были введены матрицы  и ; определив аналогичным образом и , получим условие точного восстановления в виде:

(2.12)

Схемы разложения и восстановления получаются из (1.8) – (1.9) заменой операторов разложения на и .

В заключение этого раздела приведем популярный пример серии биортогональных МА, где  и  являются сплайнами. Достаточно построить  и , удовлетворяющие условию

,

и положить

, .

Как и в ортогональном случае, должны выполняться некоторые дополнительные условия (которые мы здесь не уточняем), гарантирующие сходимость, регулярность и базисность решений уравнений рескейлинга (2.8) – (2.9). Кроме того, желательно, чтобы вейвлет, используемый для разложения (т.е. ), имел хоть несколько нулевых моментов, а вейвлет и скейлинг-функция, используемые для восстановления ( и ) были как можно более гладкими. Имеется решение, удовлетворяющее всем этим требованиям. Это решение использует сомножители того тригонометрического многочлена, который был использован для построения ОМА (см 2.5).

Семейство фильтров имеет вид:

Скейлинг-функция  является B-сплайном. На рис.2 показаны скейлинг-функции и вейвлеты БМА, полученного при .

 
 Рисунок 2. Биортогональные вейвлеты и скейлинг-функции.

Ясно, что гладкость функций, порождающих дуальный МА, очень низка. При увеличении L получаются более гладкие функции, однако и длина фильтров соответственно увеличивается.